В этом предложении употребляется оборот fare qualcuno fare qualcosa - заставить кого-то что-то сделать, примерно такое значение. Пример "Cosa ci fa fare il professore?" Что нас заставляет делать профессор? Чтобы было проще, сделайте из этого предложения утвердительное: Il professire ci fa scrivere. Профессор заставляет нас писать. Ci - это безударное местоимение "нас".
Другой пример: Mio marito mi fa cucinare. Муж заставляет меня готовить.
Cosa ti fa fare il tuo marito? Mi fa cucinare. Что тебя заставляет делать муж? Заставляет готовить.
Очень часто встречается этот оборот с глаголом vedere.
Пример: Ti faccio vedere la Piazza Rossa. Я покажу тебе Красную Площадь.
Fammi vedere la Piazza Rossa. Покажи мне Красную Площадь.
Cosa mi fai vedere? Что ты мне покажешь?
Mi / ti / ci ....мне / тебе / нам посмотрите в любом учебнике/ справочнике по итальянской грамматике безударные местоимения.
То есть fare vedere\far vedere это, если дословно, заставлять посмотреть = показать.
Т.е. грамматика этого оборота очень проста: глагол fare в личной форме (его вы спрягаете, как любой другой глагол - лицо, число, время) и инфинитив любого другого глагола vedere\andare\cucinare\.....
Io faccio vedere/andare/cucinare Я заставляю смотреть\идти\готовить
Tu fai vedere/andare/cucinare Ты заставляешь смотреть\идти\готовить
Lei/lui fa vedere/andare/cucinare Он\она заставляет смотреть\идти\готовить
Noi facciamo vedere/andare/cucinare Мы заставляем смотреть\идти\готовить
Voi fate vedere/andare/cucinare Вы заставляете смотреть\идти\готовить
Loro fanno vedere/andare/cucinare Они заставляют смотреть\идти\готовить