Есть общий принцип. Если слово сложное, состоящие из нескольких иероглифов то используется ご например ご注文, если простое с одним иероглифом, то お например お茶 お金 и пр. Правда конечно есть исключения, может быть кто вспомнит хорошие примеры?
Обновление!: Признаюсь я сразу не заметил, что вопрос стоял про 誕生日. Здесь японцев спрашивали как правильно: http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q112253356
Как я говорил в случае когда мы говорим 誕生 (2 иероглифа) в почтительной речи мы употребляем ご (ご誕生), но в случае 誕生日 мы говорим お誕生日. По ссылке говорится, что в случае использования иероглифов по китайскому чтению используется ご если по стандартному японскому, то お (в большенстве случаев когда иероглиф один он читается по японскому (кунному) чтению, когда в паре с кем-то то по китайскому (онному)), а вот и искомые мною исключения (и то не все).
В случае китайского произношения: お食事 お時間 お電話 и много др.
В случае японского: ご入り用 ごゆっくり и много др.
Но напомню, что приставки お и ご в основном используются в почтительной речи, для только начавших изучать японский лучше пока не замарачивайтесь, потому что это практически другой язык. Некоторые слова изначательно выделяются этими приставками (напр. お金) наверно из уважения к ним=)
Интересный факт: по ссылке сказали, что во время опроса 53.2% опрошенных пишут お誕生
Полный ответ к вашему вопросу в качестве вывода: правильно будет お誕生日, но ご誕生