Слово havalimanı состоит из двух слов, которые срослись - hava + liman. Поэтому на limanı там притяжательность на конце.
Правило такое: после притяжательности 3 лица (на он, она, они) - ВСЕ падежи вешаются через буфер N. Не важно, какая там предыдущая буква. Исключение - творительный падеж (кем-чем). Он - при любых обстоятельствах ведет себя одинаково: через буфер Y, если до него гласная, или без всяких буферов, если до него согласная.
Без притяжательности: Araba, Arabaya, Arabayı, Arabada, Arabadan, ArabaYla.
С притяжательностью: Arabası, ArabasıNa, ArabasıNı, ArabasıNda, ArabasıNdan, ArabasıYla.